椭圆运动的研究

椭圆运动的研究:

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行星运动

许剑伟 2006-1-9

一、极坐标问题

横向速度：；径向速度：。式中r为标量。

加速度分析：考相近两点的速度：

将第2点的速度分解到第1点速度的横向和径向上得：

则

取极限(不计二阶小量时)有：

同理：

二、力学方程：

国际单位制中，万有引力常数G的值精度不够，要得到5有效数字的精密G值已经很困难，另外我们所知道的以千克为单位的天体质量精度也很差，而天文观测数据的精度高达8—10位有效数字，所以使用国际单位制的力学方程不能直接用于天体计算，须重新定义单位：

定义M=1个单位（该单位的名称由计算者自已定，如使用太阳质量为一个单位）r=1个单位（如天文长度单位之类的名称）时，a的值为1个单位，那么可得k=1。

这样就得到

牛顿第二定律成立条件离不开牛顿第一定律。牛顿第一定律讲到：物体不受外力时，物体保持静止或匀速直线运动，受外力时则加速（或减速）运动。牛顿第二定律把这种加速或减速运动数量化，从数学上看，数量化过程依赖一定的坐标系统，从F=ma看到，当f=0时，a=0，而从实际的实验来看，f=0时a不一定等于零，与选定的坐标有关，当选定的坐标系统满足牛顿第一定律时（惯性系）才有f=0，a=0，这时牛顿第二定律才会有很高的精度。总之，利用牛一定律确定惯性系后，牛二定律才是正确的（或者说是高精度的）。假如我们找到一个坐标系统A使得物体运动满足牛一定律，如果另一个坐标系B相对A匀速运动，那么B坐标也是惯性坐标系。所有的行星、太阳之间都有相互引力，都相对于惯性系做加速运动，而不是匀速运动，以任意一个行星作为参考系都不是惯性系。那么在非惯性系中如何描述物体运动呢？从以上分析得知，在非惯性系中f=0时a≠0，因此计算时必需对a进行修正，修正方法是：如果非惯性系B相对惯性系A的加速度为a0，那么在B中描述物体加速度a时，应修正为a-a0。这里不再作证明，读者可以从运动的相对性出发加以理解、证明。当以某一天体为坐标中心，用该坐标描述其它天体运动的加速度时，应通通减去坐标中心天体的加速度。不管以太阳为中心还是以地求为中心，都须做此修正。因此无所谓太阳中心说还是地球中心说，不管用哪个学说均能得到正确结果，对于数值计算而言只是坐标的选择、变换及精度问题。

作加速度修正的结果就是，中心天体的有效质量变为所有天体的质量总和，证明过程比较简单，这里不再赘述。

设二体质量之和为M=m1+m2，二体距离为r。

对第二式积分易得，表示角动量守恒，代入第一式时行变换

，这是一个二阶常微分方程，解的形式是

三、关于椭圆

（一） 椭圆的定义

椭圆性质1：有两个焦点，左右各一个，对称。椭圆上点到两焦点距之和总为长轴。

椭圆性质2：椭圆可由圆在平面上影射得到。圆与平面夹角为，e为离心率。

1、椭圆极坐标方程：

2、近点：；远点：

3、半长径（根数）：

4、椭圆中心到焦点距离：

5、椭圆通径（半短轴长度）：即求的最大值

；用导数法易求得

6、离心律（根数）：(定义)

（二）能量、动量守恒定律

势函数：；动能：；横向动能：；径向动能：

能量守恒：；或者：；注意，C是负数。

角动量守恒方程：；或者：

角动量的能量形式表达：

（三）A、B的能量表达式

（四）轨道根数的能量表达式

将A、B代入椭圆方程得：

（五）轨道根数的反算：

（六）轨道的周期：

1、偏近点角与真近点角的关系

（1）偏近点角指与近点角对应的做椭圆影射的那个正圆上的圆心角

左右两边用正切半角公式代换易得

（2）偏近点角与真近点角的偏导关系

(3)偏近点角与e的偏导关系：

2、开普勒周期的导出

将

显然，当角度转一周后得周期：，即开普勒第三定律（周期定律），太阳系中，所有行星周期只与半径有关，或周期只与能量有关

3、估计轨道近点可能需要的计算：

以下的计算可用于行星之间相互引力摄动作用时的初始轨道修正。

有初始近点角时

设,偏导关系如下

此偏导将用于初始状态计算

五、球面坐标系统

1、球面三角计算：

下图以黄经纬、赤经纬为例作图。

A为黄极（一个顶点），B为北极（第二个顶点），C为某一个天体（第三个顶点），接下来逐步讨论黄道坐标与赤道坐标的关系。

方法：转到直角坐标，用直角坐标中的二点间距离公式求角BC弦长，进而求得角度。直角坐标x轴为OJ，y轴为OA，z轴向前，则B、C坐标为。

代入距离公式得到球面三角关系式

如果已知AB弧和BC弧和夹角，求AC弧。通过轮换的方法得

纬度有正负，经度也可规定正负，但弧的球心角只有正值，不能为负，就象三角形的边长不能为负一样。

2、经度与纬度

图中红色粗线表示黄经HJ和黄纬W，黑色粗线表示赤经J和赤纬W

夹角取正也可取负，不影球面三角关系等式。取正C点在AB的右边，取负C点在AB的左。

经度以升分点开始计算，夹角以升分点过后90度起算。则有。

现在考虑黄经(HW)黄纬(HW)与赤经(J)赤纬(W)的关系。太阳过春分点，即升分点，此点为黄经起算坐标，则有。对于赤经来说，它的升分点与黄经相差180度，为了坐标统一，如果赤经以黄经的起点开始计算，则。纬度与球面三角的角度关系为。代入球面三角得：

用反正弦求出的经度在-90度到90度之间，应转换到0-360度。这个问题实际上是已知正弦值求角。如果正弦值为正，则在第一象限和第二象限也有一个解，要取哪一个，则由已知经角的象限决定。黄经和赤经是在同一象限的。

如要赤道坐标与黄道坐轮换，并将黄赤交角取负值，方程式不变，

这样正求角与反求角的方程形式完全一样。如虽你按上述方程设计了一个函数求解W和J，入口参数为HW、HJ和交角，（或者这个函数求的是HW、HJ，入口参数为W，J）有了这个函数可反求，只需轮换并交角取负。

六、牛顿内插公式

。

一阶差分：

二阶差分：

k阶差分：

建立差分表：

考查的点有N+1个，过这N+1个点的多项式可表示为一个N阶差分的多项式：

我们可用多项式F(x)来逼近f(x)。本文不打算推导这个公式，详阅牛顿内插法相关的著作。。

N点确定的多项式是唯一的，最笨方法通过待定系数法求多项式的系数，N+1个方程求N+1个系数，如果没有出现某些奇异问题，系数解是唯一的。

现在外推一步。即。

外推后有

这是平移过程，平移后是同一个函数，因为它们过相同的N个点，如果用待定系数法求解，系数相同。

直接求计算量比较大。N阶多项式可表示为作N+1阶的多项，只要N+1差分置0，就可使多项式不变，然后通过差分表反推，可得。如果依此类推等等，最后可将差分表推算为一个矩形表。矩形表中的每行都可应用插值多项式逼近f(x)，每行的插多项式为同一函数。

对f(x)的定积分：用逼近多项式F(x)积分代替f(x)的积分，进而求得v(x)。因每行都有一个积分表达式，而且算式统一，使用程序简化且效率提高。有多种积分选择，建议如下：

为了提高运算效率，使用以下算式计算

七、牛顿中心差分公式

设，

1、奇数点插值公式（牛顿-斯特林公式）：

偶数点插值公式（也称为牛顿-贝塞尔插值公式）：

2、节点是

八、高斯插值公式：

1、高斯向前插值：

2、高斯向后插值：

九、牛顿—贝塞尔插值：

可由高斯向前插值导出。从形式上看，高斯插值的偶数阶δ的下脚标为0，我们可以转换为下地脚标为1/2的形式。当然差分表中没有下脚标为1/2的偶数阶δ，以下将会重新定义。

以下导出第2m项和第2m+1项

这样易得《2008中国天文年历》中的贝塞尔插公式。

如果用x+1/2代x，将得前面所述的牛顿—贝塞尔公式（x从1/2处起算）

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